Peyemon: el universo del Dios que juega a los dados

§0 · Resumen

Toda forma del universo está sostenida por dos restricciones que tiran en sentidos opuestos: una expansiva, que nace del candado tiempo-spin (la acción ħ, el giro y la exclusión de Pauli), y una contráctil, que nace de la atracción. Este documento demuestra que de esa pareja salen exactamente tres fases, las mismas que se adjunta como borradores en su proceso de elaboración:

Fase I, equilibrio dinámico

Si al encogerse gana la restricción expansiva, existe un valle de energía. La forma es un círculo que oscila alrededor de su tamaño, tiene energía negativa, partes correlacionadas y relojes.

Fase II, expansión máxima

Si la forma no está ligada, se dispersa. Cada mitad se cierra sobre sí misma, la relación entre ellas se vuelve una línea recta, la correlación tiende a cero y el tiempo deja de tener relojes.

Fase III, contracción máxima

Si la restricción expansiva pierde su ventaja, la forma se colapsa. Las mitades se funden en un solo círculo, el círculo se aplana hasta un eje, desde fuera solo sobreviven tres números (masa, carga y giro) y el tiempo se congela en un horizonte.

Un solo número ordena las tres fases: la excentricidad e de la forma, que vale 0 en el equilibrio, tiende a 1 en la contracción y crece sin límite en la expansión. La frontera entre las fases está escrita con las constantes ħ, c y G. La geometría que resulta, una forma cerrada sostenida por un flujo abierto dentro de una ventana, es también la del huracán real.

Lo demostrado y lo propuesto van separados en cada paso. El candado limita la contracción, y eso es un teorema de la física. Que también limite la expansión es la apuesta abierta del marco, y la única de sus afirmaciones que podría convertirse en una predicción propia.

Cómo leer

Este documento reúne en forma matemática el marco Peyemon · el universo del Dios que juega a los dados y su borrador de deducción de las láminas. Cada enunciado lleva una etiqueta:

Etiqueta	Significa
establecido	Teorema o resultado experimental anterior a Peyemon
cálculo	Calculado por el redactor con código propio; vale con los supuestos indicados
postura	Lectura del marco; no se deduce
decisión	Convención adoptada para cerrar una ambigüedad
resonancia	Coincidencia de estructura que se señala, pero no se deduce
abierto	Problema sin resolver

Notación. ħ es la constante de Planck reducida, la unidad del tiempo-spin; c, la velocidad de la luz; G, la constante de gravitación; k_B, la de Boltzmann. R es el tamaño de una forma, E su energía, L su momento angular (su giro), e su excentricidad, S su entropía e I la correlación entre sus partes. Las fórmulas se escriben en bloques; las láminas del autor aparecen como figuras en la sección que formalizan.

§1 · El sustrato y las tres caras

Definición 1.1 (sustrato) estructura establecida; leerla como sustrato único es postura. El sustrato de un sistema es su espacio de estados puros P(ℋ), con tres estructuras ligadas: la métrica de Fubini–Study g, la forma simpléctica ω y la estructura compleja J. Cualquiera de las tres queda fijada por las otras dos:

\omega(u, v) = g(J u, v)

Definición 1.2 (las tres caras) establecido.

Espacio: la distancia de g mide cuánto se distinguen dos estados.
Energía: el hamiltoniano H genera el cambio mediante el flujo X_H, definido por ι_{X_H} ω = dH.
Posibilidades: la entropía cuenta los estados accesibles, y la correlación total mide cuánto se relacionan las partes A₁, …, A_N de un todo:

S(\rho) = -\operatorname{Tr}\rho \ln \rho

I(\rho) = \sum_{i=1}^{N} S(\rho_{A_i}) - S(\rho) \;\ge\; 0

Proposición 1.3 (el precio del cambio) establecido. En la métrica del sustrato, con la distancia medida como ángulo, un estado avanza con velocidad ΔE/ħ, donde ΔE es la dispersión de su energía (Anandan y Aharonov, 1990). Como dos estados completamente distintos están a distancia π/2, ninguna forma puede volverse otra en menos tiempo que (Mandelstam y Tamm, 1945):

\frac{ds}{dt} = \frac{\Delta E}{\hbar}

t_{\perp} \;\ge\; \frac{\pi \hbar}{2\, \Delta E}

Es la versión exacta de "una posibilidad con forma definida por x tiempo": la duración de una forma la fija su dispersión de energía, y la moneda que convierte una en otra es ħ.

Proposición 1.4 (el 1 como superposición de ±½) establecido. Para un espín ½, el sustrato es la esfera de Bloch: P(ℂ²) ≅ S². Sus dos polos son los estados +½ y −½, y todo otro estado es una superposición de ellos, α|+½⟩ + β|−½⟩, cuyo eje apunta en la dirección n = ⟨ψ|σ|ψ⟩ (el mapa de Hopf). Todo espín mayor se construye con este: el espín j es la combinación simétrica de 2j copias del par ±½.

\mathcal{H}_{j} \;\cong\; \operatorname{Sym}^{2j}\!\left(\mathbb{C}^{2}\right)

\dim \mathcal{H}_j = 2j + 1

Definición 1.5 (contrato de suma cero) postura. Un todo cuyo total de una magnitud conservada Q vale cero reparte entre sus partes cargas compensadas: Σ Q_i = 0. Es el contrato tiempo-spin 𝒯 del marco.

Lema 1.6 (en los polos no hay reloj) establecido como consecuencia de Page y Wootters, 1983. Si las partes de un todo no están correlacionadas (I = 0, polo de dilución) o si el todo tiene una sola parte efectiva (polo de contracción), ninguna parte puede servir de reloj para las otras. El tiempo necesita partes distintas y relacionadas.

§2 · Las dos geometrías: cerrada y abierta

Definición 2.1 (forma cerrada y abierta) establecido como topología; los nombres son del marco. Una forma es cerrada si su espacio es compacto: cerrar una recta es identificar dos de sus puntos, y la recta ℝ se vuelve el círculo ℝ/Lℤ, de radio L/2π. Una forma es abierta si su espacio no es compacto.

Teorema 2.2 (lo cerrado cuantiza) establecido. Cerrar una forma vuelve discretas tres cosas a la vez:

Su curvatura total, en múltiplos de 2π. Una curva plana cerrada simple gira exactamente una vuelta (Hopf, 1935); una curva cerrada en el espacio acumula al menos 2π, y más de 4π si está anudada (Fenchel, 1929; Fáry, 1949; Milnor, 1950); una superficie cerrada acumula 2π por su característica de Euler.
Su espectro. Sobre un círculo solo caben las ondas que cierran, e^inθ con n entero, y el conjugado de un espacio compacto es discreto (dualidad de Pontryagin, 1934). Los escalones se separan como 1/R²: cuanto más se contrae la forma, más grandes son.
Sus posibilidades. Las maneras de cerrar se pueden numerar (vueltas, nudos, ciclos de cifras); las de no cerrar forman un infinito mayor (Cantor, 1874 y 1891).

\oint_C \kappa\, ds = 2\pi\, i_C

\iint_S K\, dA = 2\pi\, \chi(S)

L_z = n\hbar

E_n = \frac{n^2 \hbar^2}{2 m R^2}

\aleph_0 < 2^{\aleph_0}

Lámina del autor: espacio, energía y posibilidades en forma cerrada — La forma cerrada. Los círculos concéntricos dentro de los bordes son los modos discretos de una región acotada; la figura irregular es una posibilidad con forma definida durante un tiempo, cuya duración acota la Proposición 1.3.

Teorema 2.3 (la expansión conjugada de la contracción) establecido. Si una forma se contrae de un lado, su conjugada se expande del otro en la misma proporción (Heisenberg, 1927; Kennard, 1927):

f(\lambda x) \;\longleftrightarrow\; \frac{1}{|\lambda|}\, \hat f\!\left(\frac{k}{\lambda}\right)

\Delta x\, \Delta p \;\ge\; \frac{\hbar}{2}

Lado de la forma	Lado conjugado	Ejemplo
Círculo: cerrado y continuo	Enteros: abierto y discreto	Ángulo y momento angular
Red: abierta y discreta	Toro: cerrado y continuo	Cristal y zona de Brillouin
Recta: abierta y continua	Recta: abierta y continua	Posición y momento
Reloj de N posiciones	El mismo reloj	El reloj de 10 es su propio conjugado

Lámina del autor: espacio, energía y posibilidades en forma abierta — La forma abierta. Una onda es un círculo desenrollado: en cada punto gira una flecha de fase, cuya punta dibuja una hélice a lo largo de la línea; la curva roja es su sombra. La intensidad es el cuadrado de la flecha; el potencial, su ángulo.

Proposición 2.4 (cada geometría contiene a la otra) establecido. Sobre un toro, que es cerrado, una recta de pendiente irracional nunca se cierra y lo llena sin repetirse (Kronecker, 1884; Weyl, 1916). Y los racionales, que son las formas cerradas, están en todas partes dentro de los reales, pero miden cero.

Proposición 2.5 (en tres dimensiones cerrar es la excepción) establecido; cálculo. Un caminante al azar vuelve a su origen con probabilidad 1 en una y dos dimensiones y con 0.3405 en tres (Pólya, 1921). Y entre todas las fuerzas centrales, solo dos cierran todas sus órbitas ligadas (Bertrand, 1873). Para que una forma cerrada sea estable en nuestro espacio hace falta una regla que la sostenga.

P^{(3)}_{\text{regreso}} = 1 - \frac{1}{u_3}

u_3 = \frac{\sqrt{6}}{32\pi^{3}}\, \Gamma\!\left(\tfrac{1}{24}\right)\Gamma\!\left(\tfrac{5}{24}\right)\Gamma\!\left(\tfrac{7}{24}\right)\Gamma\!\left(\tfrac{11}{24}\right) \approx 1.516386

Proposición 2.6 (la energía y el giro deciden la forma) establecido. En una órbita bajo una atracción −k/r, la excentricidad depende de la energía E y del giro L. Con E < 0 la órbita es una elipse (cerrada), con E = 0 una parábola y con E > 0 una hipérbola (abierta). En la cuántica, lo ligado tiene niveles discretos y lo libre un continuo.

e = \sqrt{1 + \frac{2 E L^{2}}{m k^{2}}}

e = 0 \;\text{círculo}

0 < e < 1 \;\text{elipse}

e = 1 \;\text{parábola}

e > 1 \;\text{hipérbola}

Esta excentricidad será el número que ordena las tres fases (§9).

§3 · El candado tiempo-spin

Definición 3.1 (el signo del giro) establecido. Para un sistema de espín total j, el signo σ = (−1)^2j vale +1 si j es entero y −1 si es semientero. Para un sistema con F fermiones, σ = (−1)^F.

Teorema 3.2 (un signo, cuatro caras) establecido. El mismo signo σ aparece en el giro, en el intercambio, en el tiempo y en la mezcla de estados:

R(2\pi) = \sigma

P_{12}\, \psi = \sigma\, \psi

T^{2} = \sigma

\langle \psi_{\sigma = +1} \vert A \vert \psi_{\sigma = -1} \rangle = 0

Girar 360° multiplica por σ; un fermión necesita 720° para volver (Cartan, 1913; medido con neutrones por los equipos de Rauch y de Werner, 1975).
Intercambiar dos partículas idénticas multiplica por σ: dos fermiones no comparten estado (Pauli, 1925; teorema espín–estadística de Fierz, 1939, y Pauli, 1940).
Invertir el tiempo dos veces multiplica por σ: los niveles de un número impar de fermiones van siempre en pares (Kramers, 1930; Wigner, 1932).
No existe superposición coherente de espín entero con semientero (Wick, Wightman y Wigner, 1952).

El teorema espín–estadística deriva estas caras de la relatividad, la localidad y una energía acotada por abajo; sobre ellas está el teorema CPT (Lüders, 1954; Pauli, 1955).

InteractivoEl candado: a los 360° el fermión vale −1

Gira el objeto. La fase del bosón vuelve a +1 en cada vuelta; la del fermión avanza la mitad, y recorre el reloj de 10: 1, 3, 9, 7. A los 360° marca el 9, que vale −1.

Definición 3.3 (candado tiempo-spin) decisión. El candado es el signo con el que una onda debe cerrar al recorrer un ciclo, sea de giro o de tiempo. Con σ = +1 cierra en vueltas enteras; con σ = −1, en medias vueltas; sin ciclo, queda abierta.

Teorema 3.4 (el tiempo cierra con el espín) establecido. A temperatura T, el tiempo de la teoría cuántica es un círculo de circunferencia ħ/k_BT, y las ondas deben cerrar sobre él con el signo σ (Matsubara, 1955; Kubo, 1957; Martin y Schwinger, 1959). Los bosones quedan en frecuencias enteras y los fermiones en frecuencias semienteras: la diferencia es exactamente ½.

\psi\!\left(\tau + \frac{\hbar}{k_B T}\right) = \sigma\, \psi(\tau)

\Longrightarrow\;\, \omega_n = \frac{2\pi k_B T}{\hbar} \times \begin{cases} n & \sigma = +1 \\ n + \tfrac{1}{2} & \sigma = -1 \end{cases}

Proposición 3.5 (paridad y medio giro) establecido. Si n cuenta medios giros, n = 2j. Un n par es espín entero: tiene un estado de giro neto cero y cierra en una vuelta. Un n impar es espín semientero: en todos sus estados sobra medio giro. Es la aritmética del autor, 1 + 1 = 2 y 1.5 + 1.5 = 3: dos medios se emparejan y cierran; con uno más, sobra medio giro. Un número par de fermiones forma un bosón, como el helio 4.

Lámina del autor: el 1 como simetría y superposición de los medios giros — El 1, hecho de dos mitades de giro opuesto (−½ y +½), se abre en giros dirigidos ±2 (enteros, cerrados) y ±3 (enteros más un medio giro sobrante). En el lenguaje de la Proposición 3.5, ±n son los estados extremos del espín n/2.

Proposición 3.6 (la exclusión fabrica capas cerradas) establecido. Con d estados disponibles, n bosones se reparten sin tope y n fermiones solo hasta n = d:

\dim \operatorname{Sym}^{n}\!\left(\mathbb{C}^{d}\right) = \binom{d+n-1}{n}

\dim \Lambda^{n}\!\left(\mathbb{C}^{d}\right) = \binom{d}{n} = 0 \quad (n > d)

De ese tope salen las capas cerradas: los gases nobles (2, 10, 18, 36, 54, 86 y 118 electrones), los núcleos mágicos (2, 8, 20, 28, 50, 82 y 126 nucleones, con el acoplamiento espín–órbita de Goeppert Mayer y de Haxel, Jensen y Suess, 1949) y los anillos aromáticos de 4n + 2 electrones (Hückel, 1931).

Teorema 3.7 (el guardián: estabilidad de la materia) establecido. Con electrones fermiones, la energía de N partículas cargadas está acotada por −C·N: la materia ocupa espacio y es estable (Dyson y Lenard, 1967; Lieb y Thirring, 1975). Si fueran bosones, bajaría como −N^7/5 y juntar trozos liberaría cada vez más energía (Dyson, 1967; Conlon, Lieb y Yau, 1988). El candado impide que la contracción predomine.

Proposición 3.8 (la gramática de las combinaciones) establecido. Dos partes de espines j₁ y j₂ se combinan en un espín total entre |j₁ − j₂| y j₁ + j₂; por ejemplo, ½ ⊗ ½ = 0 ⊕ 1. Fusionar es elegir un canal permitido; fisionar, descomponer. El signo σ se conserva, así que un número impar de fermiones nunca se vuelve par. Ese candado, junto con la energía, llevó a Pauli a predecir el neutrino en 1930.

Proposición 3.9 (en tres dimensiones solo existe el candado del ½) establecido. Los giros del espacio tienen una sola torsión de dos valores, porque el grupo fundamental de SO(3) es ℤ₂ (el truco del cinturón). En sistemas planos el intercambio puede dar cualquier fase: son los aniones (Leinaas y Myrheim, 1977; Wilczek, 1982). Los tercios se midieron en el efecto Hall cuántico fraccionario a 1/3 (Tsui, Störmer y Gossard, 1982; carga e/3 medida en 1997).

§4 · Los candados de los números

Definición 4.1 (el reloj de una base) establecido; los nombres S0, S1 y S2 son del autor. En base 10, las terminaciones que no comparten factor con 10 forman un reloj de cuatro posiciones que se recorre multiplicando por 3: 1 → 3 → 9 → 7 → 1. Sus niveles son S0 = {1}, la identidad; S1 = {3, 7}, los generadores, inversos entre sí (3·7 = 21 ≡ 1); y S2 = {9}, su producto, que vale −1 (3·3 ≡ 7·7 ≡ 9 ≡ −1). Es el mismo grupo que las fases de un espín ½ bajo medias vueltas, 1 → −i → −1 → i → 1. el isomorfismo es establecido; leerlo como espín es resonancia, porque todo grupo cíclico de cuatro elementos es el mismo

Proposición 4.2 (cada primo abre su candado) establecido. Un número p > 1 es primo si y solo si deja resto en todos los ciclos menores: p mod q ≠ 0 para todo primo q ≤ √p. En forma geométrica, p puntos igualmente espaciados en un círculo no contienen ningún polígono regular más pequeño, porque el grupo cíclico de orden p no tiene subgrupos propios (Lagrange). El ½ de la Proposición 3.5 es el candado del 2: separa pares de impares, no compuestos de primos. El 3 abre el de los tercios, el 5 el de los quintos.

InteractivoCada primo abre su candado

Un compuesto contiene polígonos regulares más pequeños, uno por cada divisor. Un primo no contiene ninguno, y su inverso 1/p cierra un ciclo decimal cuyas dos mitades suman 99…9.

Proposición 4.3 (cada primo cierra un ciclo decimal) establecido; cálculo. Para todo primo p distinto de 2 y 5, el desarrollo de 1/p es periódico, con período igual al orden de 10 en el reloj de p. Si el período k es par, a mitad de ciclo 10 vale −1 y las dos mitades suman 99…9 (Midy, 1836): 1/7 = 0.142857… y 142 + 857 = 999.

\operatorname{per}(1/p) = \operatorname{ord}_p(10) \;\mid\; p - 1

10^{k/2} \equiv -1 \pmod p

Cálculo con los 78 495 primos menores que 10⁶: ninguna excepción a Midy; el 66.66 % tiene período par (la teoría da 2/3, Hasse, 1966); el 37.58 % tiene el ciclo más largo, p − 1, frente al 37.40 % de la conjetura de Artin (1927), demostrada bajo la hipótesis de Riemann generalizada (Hooley, 1967).

Teorema 4.4 (el gas de primos) establecido; leerlo como el contrato del marco es postura. Si cada primo p es un estado de energía ln p, cada entero n es un estado del gas y su factorización dice cuántas partículas hay en cada estado. La función de partición es la función zeta, y el producto de Euler es la de un gas libre de bosones (Julia, 1990; Spector, 1990). Si el gas es de fermiones, el signo de cada estado es la función de Möbius μ, que vale 0 cuando un primo se repite (exclusión) y (−1)^k con k primos distintos:

\zeta(s) = \sum_{n \ge 1} n^{-s} = \prod_{p} \frac{1}{1 - p^{-s}}

\sum_{n \ge 1} \frac{\mu(n)}{n^{s}} = \frac{1}{\zeta(s)}

\sum_{d \mid n} \mu(d) = \begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n > 1 \end{cases}

Dos consecuencias exactas:

El candado deja pasar el 6/π² de los números, la fracción sin primos repetidos: ∏(1 − 1/p²) = 1/ζ(2) = 6/π². Cálculo hasta 10⁸: 0.60792694, frente al exacto 0.60792710. La π de la forma cerrada decide cuántos pasan, porque ζ(2) = π²/6 sale de las ondas del círculo (Euler, 1734).
El 1 es el vacío. Para todo n > 1, el signo total de sus divisores se anula: es el contrato ΣQ = 0. Solo el 1, el estado sin partículas, suma 1.

Teorema 4.5 (el guardián de los primos) establecido; la hipótesis sigue abierta. Sea M(x) = Σ μ(n) para n ≤ x, el saldo entre números con cantidad par e impar de primos. Que M(x)/x tienda a cero equivale al teorema de los números primos (von Mangoldt, 1897; Landau, 1899). La hipótesis de Riemann equivale a que el saldo se equilibre como una moneda justa (Littlewood, 1912; Denjoy, 1931):

\text{Hipótesis de Riemann} \iff M(x) = O\!\left(x^{1/2 + \varepsilon}\right) \;\; \text{para todo } \varepsilon > 0

Cálculo: entre 100 y 10⁸, |M(x)| no pasa de 0.57√x. La cota más fuerte |M(x)| < √x es falsa en algún x enorme (Odlyzko y te Riele, 1985), aunque se ha comprobado hasta 10¹⁶ (Hurst, 2018).

Cálculo propioEl guardián de los primos: M(x)/√x hasta 10⁸

Proposición 4.6 (los ceros de Riemann se excluyen como fermiones en un anillo) establecido como estadística medida; abierto como teorema. Las frecuencias de los primos, los ceros de la función zeta, se reparten como los valores propios de matrices unitarias al azar (Montgomery, 1973; Odlyzko, 1987). Esa distribución es exactamente la de N fermiones libres en un círculo, porque su densidad es el cuadrado de un determinante de Slater (Dyson, 1962):

P(\theta_1, \dots, \theta_N) \;\propto\; \prod_{j<k} \left| e^{i\theta_j} - e^{i\theta_k} \right|^{2} = \left| \det\!\left[ e^{\, i m \theta_k} \right] \right|^{2}

Cálculo con 2 439 separaciones de ceros entre t = 100 y t = 3 000: solo el 0.4 % es menor que un quinto de la separación media; para matrices al azar sería el 5 % y para el azar puro el 18 %. A esa altura los ceros son incluso más rígidos que la ley asintótica, como describen Bogomolny y colaboradores (2006). Forma cerrada, candado y patrón primo quedan en un solo objeto. Nadie ha encontrado todavía el operador cuyos valores propios sean los ceros (Hilbert y Pólya; Berry y Keating, 1999).

Cálculo propioLos ceros de Riemann se repelen; los primos no

§5 · El funcional de la forma

Una forma de tamaño R está sometida a dos restricciones que tiran en sentidos opuestos. Esta sección las escribe como un solo funcional de energía; las tres fases serán sus tres comportamientos posibles.

Definición 5.1 (restricción expansiva) establecido. Es la energía que cuesta confinar o hacer girar una forma, y crece al encogerla:

Origen	Término	Exponente a
Incertidumbre: confinar en R cuesta momento ≳ ħ/R	ħ²/(2mR²)	2
Giro: un momento angular L, medido en unidades de ħ	L²/(2mR²)	2
Exclusión de Pauli, N fermiones lentos	≈ ħ²N^5/3/(mR²)	2
Exclusión de Pauli, N fermiones relativistas	≈ ħcN^4/3/R	1

Lema 5.2 (la restricción expansiva es tiempo-spin) establecido; la lectura es postura. En los cuatro casos el coeficiente lleva ħ, la unidad de acción que mide tanto el giro como la incertidumbre. La fuerza que impide contraerse sin límite está hecha del candado: del giro, de la incertidumbre o de la exclusión.

Definición 5.3 (restricción contráctil) establecido. Es la energía de la atracción, que baja al encoger la forma: −B/R^b, con b = 1 para la atracción eléctrica y la gravitatoria de Newton. La relatividad general añade, para un cuerpo que gira, un término más fuerte a distancias cortas, −GML²/(mc²R³), con b = 3.

Definición 5.4 (funcional de la forma) decisión.

E(R) = A\, R^{-a} \;-\; B\, R^{-b}

A, B > 0

Lema 5.5 (clasificación de los puntos críticos) establecido; demostración directa. Derivando, E′(R) = 0 tiene a lo sumo una solución, y su naturaleza la decide la comparación de exponentes:

R^{*} = \left(\frac{aA}{bB}\right)^{\frac{1}{a-b}}

E''(R^{*}) = a\,(a-b)\, A\, R^{*\,-a-2}

E(R^{*}) = -\left(1 - \frac{b}{a}\right) B\, R^{*\,-b}

a > b: R* es un mínimo, con energía negativa. Hay un valle.
a = b: no hay punto crítico; E = (A − B)·R^−a es monótona.
a < b: R* es un máximo, una barrera inestable.

Demostración En R* se cumple bB·R*^−b = aA·R*^−a. Sustituyendo en E″(R) = a(a+1)A·R^−a−2 − b(b+1)B·R^−b−2 queda a(a − b)A·R*^−a−2, positiva si y solo si a > b. Lo mismo, sustituido en E(R*), da su valor. ∎

Definición 5.6 (la excentricidad como medida de redondez) establecido. Para dos cuerpos ligados por −k/r, la forma de la órbita relativa es una elipse cuyo cociente de semiejes mide qué fracción del giro máximo posible conserva. El círculo es el giro máximo para su energía; un segmento, giro cero:

\frac{b_{\text{elipse}}}{a_{\text{elipse}}} = \sqrt{1 - e^{2}} = \frac{L}{L_c(E)}

L_c(E) = k\, \sqrt{\frac{m}{2\lvert E \rvert}}

Con el funcional de la Definición 5.4 la conexión es exacta. Para un giro L fijo, la energía efectiva de la distancia es E(r) = L²/(2mr²) − k/r: el caso a = 2, b = 1 con A = L²/2m. Su mínimo es la órbita circular. La redondez de una forma es la huella de su giro.

InteractivoLa redondez es la huella del giro

Con energía negativa la órbita es cerrada: un círculo con el giro máximo, una elipse con menos, un segmento sin giro. Con energía positiva se abre en una hipérbola que, con mucha energía, ya es casi una recta.

§6 · Fase I: equilibrio dinámico

Lámina del autor: estado de equilibrio dinámico entre expansión y contracción — El círculo de diámetro D entre dos bordes y los dos medios giros, −½ y +½, centrados en los bordes, que se tocan en el centro.

Teorema 6.1 (equilibrio dinámico) establecido. Si a > b, la forma tiene un único tamaño estable R*, con energía negativa. Empujada, no se va: oscila alrededor de R* con frecuencia ω, y sus dos restricciones guardan la proporción del virial:

\omega^{2} = \frac{E''(R^{*})}{m_{\text{ef}}} = \frac{a\,(a-b)\, A\, R^{*\,-a-2}}{m_{\text{ef}}}

a \cdot \underbrace{A R^{*\,-a}}_{\text{expansiva}} \;=\; b \cdot \underbrace{B R^{*\,-b}}_{\text{contráctil}}

Demostración Es el caso a > b del Lema 5.5; la frecuencia sale de desarrollar E(R) hasta segundo orden alrededor del mínimo. ∎

InteractivoLa ventana: la forma rueda por su energía

Mueve los exponentes y las fuerzas, o toca la curva para soltar la forma en otro tamaño. Con a > b aparece un valle; con a = b la forma rueda hacia uno de los dos límites; con a < b hay una barrera.

Las tres fases en un solo dibujo. La forma siempre baja por su curva de energía: con a > b encuentra un valle y se queda oscilando en él (Fase I); con a = b no hay valle y rueda hacia afuera (Fase II) o hacia adentro (Fase III).

Ejemplos medidos establecido; cálculo.

Forma	Restricción expansiva	Restricción contráctil	Equilibrio R*
Órbita circular	Giro, L²/(2mr²)	Gravedad o carga, −k/r	r* = L²/(mk), con e = 0
Átomo de hidrógeno	Incertidumbre, con L del orden de ħ	Atracción eléctrica	Radio de Bohr, 0.529 Å, con energía −13.6 eV
Enana blanca	Pauli de los electrones lentos	Gravedad	Del tamaño de la Tierra; R* ∝ N^−1/3: a más masa, más pequeña

Proposición 6.2 (la geometría de la lámina) establecido. En el dibujo del equilibrio, cada medio giro es medio círculo de radio D/2, así que los dos juntos miden πD: exactamente la circunferencia del círculo central. El balance es literal. Además, de todas las formas con el mismo borde, el círculo es la que encierra más área (desigualdad isoperimétrica, 4πÁrea ≤ Perímetro², con igualdad solo para el círculo). El equilibrio es la forma óptima.

Las caras en la Fase I establecido; la lectura por caras es postura:

Espín Las dos mitades ±½ están emparejadas y correlacionadas: ½ ⊗ ½ contiene el canal de giro total cero, y la forma conserva su giro máximo para su energía (e = 0).

Energía En el fondo del valle, negativa: la forma está ligada.

Espacio Un tamaño finito fijado por ħ y por la intensidad de la atracción.

Posibilidades Las partes están correlacionadas (I > 0): hay estructura.

Tiempo La oscilación alrededor de R* es un reloj, y hay partes distintas y relacionadas, que es lo que el Lema 1.6 exige. En el caso de Kepler, la oscilación radial tiene el mismo período que la vuelta, y por eso las órbitas ligadas se cierran (Bertrand, 1873).

§7 · Fase II: expansión máxima

Lámina del autor: escenario A, expansión hacia el límite máximo — Los bordes se alejan; cada medio giro se separa y se cierra sobre sí mismo, y el círculo central se estira hasta volverse una sola línea recta.

Teorema 7.1 (dispersión) establecido. Si la energía total de la forma no es negativa, la forma no está ligada y su tamaño crece sin límite. La órbita relativa de las dos mitades es una hipérbola (e > 1), y su desviación χ cumple sen(χ/2) = 1/e. Cuanta más energía, más grande es e y menos se curva la trayectoria: en el límite, la relación entre las mitades es una línea recta.

E \ge 0

\Longrightarrow\;\, e = \sqrt{1 + \frac{2 E L^{2}}{m k^{2}}} \;\ge\; 1

\operatorname{sen}\frac{\chi}{2} = \frac{1}{e} \;\xrightarrow[e \to \infty]{}\; 0

Proposición 7.2 (cada mitad se cierra sobre sí misma) establecido. Al separarse, el giro total se conserva y se reparte: cada fragmento conserva su propio giro, de modo que ΣL = constante (el contrato de la Definición 1.5). Cada mitad que esté ligada por dentro sigue en su propia Fase I: una forma cerrada, aislada de la otra. Un matiz que el dibujo ya marcaba con el hueco: una mitad con espín semientero conserva σ = −1 para siempre, porque un número impar de fermiones no puede volverse par (Proposición 3.8). Sola, cierra en dos vueltas, no en una.

Proposición 7.3 (la versión cósmica) establecido; cálculo. Con constante cosmológica Λ > 0, la ecuación de Friedmann lleva a una expansión exponencial con un horizonte de tamaño fijo:

H^{2} = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k c^{2}}{a^{2}} + \frac{\Lambda c^{2}}{3} \;\xrightarrow[t \to \infty]{}\; \frac{\Lambda c^{2}}{3}

a(t) \propto e^{H t}

R_H = \frac{c}{H}

Con H₀ = 67.4 km/s/Mpc y Ω_Λ = 0.685, el horizonte final está a unos 17 500 millones de años luz. Tiene temperatura y entropía (Gibbons y Hawking, 1977):

T_{GH} = \frac{\hbar H}{2\pi k_B} \approx 2 \times 10^{-30}\ \text{K}

S_{dS} = k_B\, \frac{\pi R_H^{2}}{\ell_P^{2}} \approx 3 \times 10^{122}\, k_B

La imagen del autor tiene aquí su versión medida. Las estructuras ligadas por gravedad, como nuestro grupo de galaxias, siguen ligadas: cada mitad cerrada sobre sí misma. Las que no lo están se alejan en línea recta hasta cruzar el horizonte, y dentro de unos cien mil millones de años todas las galaxias fuera de nuestro grupo local habrán cruzado el horizonte (Nagamine y Loeb, 2003; Krauss y Scherrer, 2007).

Las caras en la Fase II establecido; la lectura por caras es postura:

Espín Las mitades se separan y cada una conserva su propio giro. La relación entre ellas pierde su curvatura: e → ∞.

Energía No ligada (E ≥ 0). Se diluye y se enfría hasta la temperatura del horizonte, unos 2 × 10⁻³⁰ K.

Espacio Las distancias crecen sin límite y la forma central se vuelve una línea, es decir, abierta (Definición 2.1). El borde es el horizonte cósmico.

Posibilidades Muchas, pero cada vez menos relacionadas: si las partes interactúan con su entorno, su correlación mutua se diluye en él. El límite es el polo de dilución, I = 0.

Tiempo La luz no tiene tiempo propio (dτ = 0 a lo largo de un rayo). Si al final solo queda radiación, no se puede construir ningún reloj (Penrose, 2010), y el Lema 1.6 da el mismo resultado: en el polo de dilución no hay reloj.

§8 · Fase III: contracción máxima

Lámina del autor: escenario B, contracción hacia el límite máximo — Los bordes se acercan; los dos medios giros se superponen al círculo central, que queda con tres composiciones; el giro continuo se vuelve pasos (el cuadrado) y la forma se deforma hasta un solo eje.

Teorema 8.1 (el candado pierde su ventaja) establecido. La Fase I exige a > b. La contracción la destruye de dos maneras:

Empate de exponentes. Al encoger una forma de N fermiones, su momento de Fermi, del orden de ħN^1/3/R, supera mc. La restricción expansiva pasa de a = 2 a a = 1 e iguala a la gravedad (b = 1): el valle desaparece. La frontera A = B fija una cantidad máxima de materia hecha solo con ħ, c y G (Landau, 1932). La contracción misma es la que le quita al candado su ventaja.
Un término más fuerte. En relatividad general, la energía efectiva de un cuerpo que gira alrededor de una masa M tiene un término en 1/r³ que, a distancias cortas, vence a la barrera del giro (b = 3 > a = 2). Por debajo de 6GM/c² no hay órbitas circulares estables, y la materia cae.

N_c \simeq \left(\frac{\hbar c}{G m_p^{2}}\right)^{3/2} \approx 2 \times 10^{57}

V(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} - \frac{G M L^{2}}{m c^{2} r^{3}}

r_{\text{ISCO}} = \frac{6 G M}{c^{2}}

La estimación de Landau da N_c del orden de 1.9 masas solares; el cálculo completo de Chandrasekhar (1931) da unas 1.4. cálculo; establecido

Proposición 8.2 (las mitades se funden) establecido. Cuando el candado de los electrones cede, electrones y protones se funden en neutrones, y en cada fusión sale un neutrino, la partícula que Pauli predijo con su candado:

e^{-} + p \;\longrightarrow\; n + \nu_e

El colapso libera unos 3 × 10⁴⁶ J, casi todo en neutrinos; los de la supernova de 1987 se detectaron en la Tierra. Los neutrones tienen su propio candado de Pauli, que sostiene una estrella de neutrones hasta un límite planteado por Oppenheimer y Volkoff (1939); las estimaciones actuales lo sitúan entre 2 y 2.3 masas solares. Más allá no se conoce ningún candado, y se forma un horizonte.

Teorema 8.3 (sobreviven tres números) establecido. Un agujero negro estacionario queda determinado, visto desde fuera, por solo tres números: masa M, carga Q y giro J (Kerr, 1963; Israel, 1967; Carter, 1971; Robinson, 1975). El giro tiene un tope: si J superara GM²/c no habría horizonte (Penrose, 1969). La única estructura geométrica que se distingue desde fuera es el eje del giro.

\text{Agujero negro} = \{ M,\; Q,\; J \}

J \;\le\; \frac{G M^{2}}{c}

Lectura resonancia y postura: las tres composiciones del círculo en la lámina corresponden a los tres números que sobreviven, y el eje en que termina la forma es el eje del giro. Si además el giro es cero, la caída es radial: e → 1 con L → 0, y la elipse degenera en un segmento sobre un eje (Definición 5.6).

Las caras en la Fase III establecido; la lectura por caras es postura:

Espín Pauli obliga a las mitades a ser opuestas y resiste; en el límite cede y las mitades se funden. Desde fuera solo queda el giro total J, con su tope.

Energía Se libera la energía de caída. Lo que queda tiene una temperatura mínima, la de Hawking: unos 6 × 10⁻⁸ K para una masa solar.

Espacio El tamaño se encoge, los escalones de energía se separan como 1/R² (el giro continuo se vuelve pasos) y el borde es el horizonte, de radio 2GM/c².

Posibilidades Desde fuera, tres números. Dentro, la entropía máxima posible para esa región, escondida tras el horizonte: unos 10⁷⁷ k_B para una masa solar (Bekenstein, 1973; Hawking, 1974).

Tiempo Visto desde fuera, el tiempo se congela en el horizonte. En la superficie de una estrella de neutrones de 1.4 masas solares y 12 km los relojes ya marchan un 19 % más lento. Es el polo de contracción del Lema 1.6.

\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \frac{2GM}{r c^{2}}} \;\xrightarrow[r \to 2GM/c^{2}]{}\; 0

S_{BH} = k_B \frac{A}{4 \ell_P^{2}}

T_{H} = \frac{\hbar c^{3}}{8 \pi G M k_B}

§9 · El teorema completo y sus corolarios

El teorema de Peyemon

Teorema 9.1 (de las restricciones expansivas y contráctiles) cada parte es establecida; reunirlas como teorema del marco es postura. Sea una forma cuya energía es E(R) = A·R^−a − B·R^−b, con la restricción expansiva hecha del candado tiempo-spin (Lema 5.2). Entonces la forma está en una y solo una de tres fases:

Fase I, equilibrio dinámico, si a > b y su energía total es negativa. Tiene un tamaño estable R*, oscila alrededor de él, cumple el virial y, en el mínimo, es un círculo (e = 0).
Fase II, expansión máxima, si su energía total no es negativa. Su tamaño crece sin límite, e ≥ 1, la relación entre sus partes tiende a una recta y cada parte conserva su propio giro.
Fase III, contracción máxima, si al encogerse se llega a a ≤ b. No hay valle; la forma cae hasta un horizonte, desde fuera solo quedan M, Q y J, y sin giro la forma degenera en un eje (e → 1).

Además:

El tiempo solo existe en la Fase I. En la II desaparece la correlación; en la III, la distinción entre partes. En ambos polos no hay reloj (Lema 1.6).
Los bordes de la ventana están hechos de constantes. El borde de la contracción lo fijan ħ, c y G (N_c, 2GM/c², 6GM/c²); el de la expansión, la constante cosmológica (c/H). Que este segundo borde también salga del candado es abierto (§11).

InteractivoLas tres fases del teorema

Recreación animada de las tres láminas finales del autor. Hacia la derecha, las mitades se cierran y se separan y el círculo se vuelve una recta; hacia la izquierda, se funden en un círculo que pasa por un cuadrado y termina en un eje. El reloj de la esquina se detiene en los dos extremos.

El orden de las tres fases. Un solo número, la excentricidad, las ordena:

\underbrace{e \to 1^{-}}_{\text{Fase III: }L \to 0} \;\;\longleftarrow\;\; \underbrace{e = 0}_{\text{Fase I: círculo}} \;\;\longrightarrow\;\; \underbrace{e \to \infty}_{\text{Fase II: recta}}

Fase	Condición	Espín	Energía	Espacio	Posibilidades	Tiempo
I · equilibrio	a > b, E < 0	Mitades emparejadas	En el valle	Finito, fijado por ħ	Correlacionadas	Hay relojes
II · expansión	E ≥ 0	Cada mitad con su giro	Diluida	Sin límite hasta el horizonte cósmico	Sin relación	Sin relojes
III · contracción	a ≤ b	Fundidas; queda J	Liberada	Hasta el horizonte 2GM/c²	Tres números fuera	Congelado

Corolarios establecidos como física; su lectura conjunta es postura:

C1Los dos límites terminan en horizontes, y los dos tienen temperatura y entropía proporcional a su área, S = k_B·A/(4ℓ_P²). El horizonte del agujero negro encierra; el cósmico rodea.
C2En nuestro espacio, cerrar exige candado. Por la Proposición 2.5 lo cerrado no es típico en tres dimensiones, y por el Teorema 6.1 solo hay forma estable si la restricción expansiva gana al encogerse. Las formas cerradas estables existen porque existe el candado.
C3El tamaño de las cosas lo fija ħ. El radio de Bohr, a₀ = 4πε₀ħ²/(m_e e²), fija el tamaño de los átomos y, con ellos, el de todo lo que está hecho de átomos.
C4La forma más estable es la más redonda. Para un giro dado, el círculo es el mínimo de energía; para un borde dado, el máximo de espacio.
C5Fusión y fisión van hacia el centro de la ventana. La energía de ligadura por nucleón tiene su máximo, unos 8.8 MeV, cerca del hierro y el níquel: los núcleos ligeros liberan energía al fusionarse y los pesados al partirse, porque los dos caminos se acercan a ese máximo.
C6La memoria vive en la ventana. Una secuencia periódica no guarda información nueva (Shannon, 1948), y una sin candados se degrada. El gen es un cristal aperiódico (Schrödinger, 1944): letras cerradas en una secuencia abierta, sobre una hélice periódica.
C7El único candado de giro en tres dimensiones es el ½ (Proposición 3.9). Los candados de los otros primos, tercios o quintos, existen en los números y en los sistemas planos.

§10 · La geometría verdadera del huracán

El marco nació de un huracán: un eje con dirección, una torsión, un disco y una esfera tejida. El Teorema 9.1 dice cuál es su geometría correcta: no la de un objeto, sino la de una ventana. Un huracán real es una forma cerrada (un vórtice que gira) sostenida por un flujo abierto (el calor que sube del mar y sale frío por arriba), y vive entre dos límites medidos.

Proposición 10.1 (el ojo es el candado del giro) establecido. El aire que entra hacia el centro conserva su momento angular absoluto, M = rv + fr²/2, donde f mide el giro de la Tierra. Al acercarse al centro, su velocidad crece como M/r, y el término centrífugo, que crece como 1/r² en energía, le impide llegar. Es la restricción expansiva de la Definición 5.1 con a = 2. El ojo es la región que ese candado del giro deja vacía; el viento se equilibra con la presión en la pared del ojo:

M = r v + \frac{f r^{2}}{2} = \text{constante}

\frac{v^{2}}{r} + f v = \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r}

InteractivoEl ojo del huracán es el candado del giro

El aire entra girando y conserva su momento angular: cuanto más cerca del centro, más rápido gira, hasta que la barrera centrífuga lo detiene en la pared del ojo. Apaga la fuente de calor para ver la Fase II.

Proposición 10.2 (un núcleo cerrado dentro de un vórtice abierto) establecido. El perfil de viento más simple de un huracán es el vórtice de Rankine (1858): dentro del radio de viento máximo gira como un disco rígido, y fuera la velocidad cae como 1/r. Las dos geometrías del §2 en un solo objeto: el núcleo es cerrado y el exterior es abierto.

v(r) = \begin{cases} \Omega\, r & r \le r_m \quad \text{(núcleo cerrado)} \\ \dfrac{\Gamma}{2\pi r} & r > r_m \quad \text{(exterior abierto)} \end{cases}

Proposición 10.3 (la ventana del huracán) establecido.

El borde inferior. Un huracán solo se forma sobre agua de unos 26.5 °C o más (Palmén, 1948; Gray, 1968). Sin esa fuente de energía, el vórtice no se sostiene.
El borde superior. Un huracán funciona como una máquina de Carnot entre el mar, a unos 300 K, y la cima de la tormenta, a unos 200 K: su eficiencia es de un tercio, y eso fija una intensidad máxima (Emanuel, 1986; Bister y Emanuel, 1998).

V_{\max}^{2} \;\approx\; \frac{C_k}{C_D}\, \frac{T_s - T_o}{T_o}\, \left(k_s^{*} - k\right)

\eta = \frac{T_s - T_o}{T_s} \approx \frac{300 - 200}{300} = \frac{1}{3}

Proposición 10.4 (el equilibrio dinámico, medido) establecido. En los huracanes intensos, el ojo se contrae, se forma una pared nueva por fuera, la interior se deshace y el ojo vuelve a agrandarse: son los ciclos de reemplazo de la pared del ojo (Willoughby, Clos y Shoreibah, 1982). Es la oscilación de la Fase I alrededor de su tamaño.

Las tres fases en el huracán establecido como meteorología; la correspondencia es postura:

Fase I. El huracán maduro: ojo de tamaño estable, que oscila con los ciclos de su pared.
Fase II. Sobre agua fría o tierra, la fuente se corta: el vórtice pierde giro, se ensancha y su circulación cerrada se abre hasta disiparse.
Fase III. En la intensificación extrema, el ojo se contrae hacia su límite: el huracán Wilma (2005) llegó a un ojo de unos 4 km (dos millas náuticas) y a 882 hPa, la presión más baja medida en el Atlántico.

La esfera tejida, en la atmósfera establecido como descripción cualitativa; identificarla con las fibras de Hopf es resonancia. El huracán combina un giro alrededor de su eje (circulación primaria) con una vuelta de entrada, subida y salida (circulación secundaria). Juntas, sus líneas de flujo son hélices que se enrollan sobre toros anidados: la esfera tejida de la Fase IV del marco, hecha de aire.

Conclusión postura. La geometría del huracán que el autor buscaba es la del Teorema 9.1: una forma que solo existe entre dos límites, cuya restricción expansiva es el giro y cuya restricción contráctil es la convergencia, sostenida por un flujo abierto de energía.

§11 · Lo abierto y la predicción

El teorema separa con precisión lo que la física ya prueba de lo que el marco apuesta. Estas son las preguntas abiertas, ordenadas por lo que valdría resolverlas.

A1El borde de la expansión desde el candado abierto; es la predicción posible del marco. El borde de la contracción sale del candado (ħ, c, G). El de la expansión lo fija hoy la constante cosmológica, que nadie sabe deducir: el cálculo ingenuo desde la teoría cuántica falla por un factor de unos 10¹²⁰ (Weinberg, 1989). Medida en la unidad natural del candado, la constante es un número diminuto que ninguna teoría explica. Si Peyemon dedujera ese número desde el candado tiempo-spin, sería una predicción propia, contrastable y de primer orden.

\Lambda \approx 1.1 \times 10^{-52}\ \text{m}^{-2}

\Lambda\, \ell_P^{2} \approx 3 \times 10^{-122}

\ell_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^{3}}}

A2¿Las dos fases extremas se tocan? establecido como teoría, no observado; la conexión es abierta. Un agujero negro irradia y se evapora (Hawking, 1974): la Fase III termina devolviendo su energía como radiación, que es el material de la Fase II. Para una masa solar tarda unos 2 × 10⁶⁷ años. Que el final de la expansión reinicie un ciclo es una propuesta especulativa (Penrose, 2010).

t_{\text{evap}} = \frac{5120\, \pi\, G^{2} M^{3}}{\hbar\, c^{4}} \approx 2 \times 10^{67}\ \text{años} \left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^{3}

A3El operador de los ceros abierto. Si existe un operador cuyos valores propios son los ceros de la función zeta, la Proposición 4.6 dejaría de ser estadística y el candado de los primos tendría un sistema físico (Hilbert y Pólya; Berry y Keating, 1999).
A4Los dos medios resonancia. El ½ del espín y el ½ de la hipótesis de Riemann son raíces cuadradas: el espinor es la raíz de un vector y √x el tamaño de una suma de signos al azar. Ninguna deducción los identifica todavía.
A5La apuesta contrastable del marco sigue en pie postura; contrastada hasta ahora. En las tres fases el giro total se conserva y se reparte con compensación (Definición 1.5). El marco prohíbe un giro global en un solo sentido. Las mediciones del fondo de microondas desfavorecen fuertemente un universo que gire (Saadeh y colaboradores, 2016), en acuerdo con la prohibición.

§12 · Referencias

Documento de origen, con su pestaña de borrador, donde están los cálculos y los gráficos de primos y ceros: Peyemon · el universo del Dios que juega a los dados.

Cálculos propios

Python con numpy Criba hasta 10⁸ (función de Möbius, fracción sin cuadrados, separaciones entre primos), 2 440 ceros de Riemann por la fórmula de Riemann–Siegel, períodos de 1/p hasta 10⁶, fórmula de Weizsäcker, probabilidad de regreso de Pólya, radio de Bohr, límite de Landau, dilatación del tiempo en una estrella de neutrones, horizonte de de Sitter con H₀ = 67.4 km/s/Mpc y Ω_Λ = 0.685.

Sustrato y tiempo

Page y Wootters1983
Mandelstam y Tamm1945
Anandan y Aharonov1990
Hopf1931

Geometría cerrada y abierta

Hopf1935
Fenchel1929
Fáry1949
Milnor1950
Pontryagin1934
Cantor1874, 1891
Kronecker1884
Weyl1916
Pólya1921
Bertrand1873
Heisenberg1927
Kennard1927

Candado tiempo-spin

Cartan1913
Pauli1925, 1940, 1955
Fierz1939
Kramers1930
Wigner1932, 1939
Wick, Wightman y Wigner1952
Lüders1954
Matsubara1955
Kubo1957
Martin y Schwinger1959
Dyson y Lenard1967
Lieb y Thirring1975
Conlon, Lieb y Yau1988
Goeppert Mayer1949
Haxel, Jensen y Suess1949
Hückel1931
Leinaas y Myrheim1977
Wilczek1982
Tsui, Störmer y Gossard1982

Números

Euler1734
Midy1836
Artin1927
Hasse1966
Hooley1967
von Mangoldt1897
Landau1899
Littlewood1912
Denjoy1931
Julia1990
Spector1990
Montgomery1973
Odlyzko1987
Dyson1962
Odlyzko y te Riele1985
Hurst2018
Bogomolny y colaboradores2006
Berry y Keating1999

Las tres fases

Landau1932
Chandrasekhar1931
Oppenheimer y Volkoff1939
Kerr1963
Israel1967
Carter1971
Robinson1975
Penrose1969, 2010
Bekenstein1973
Hawking1974
Gibbons y Hawking1977
Nagamine y Loeb2003
Krauss y Scherrer2007
Weinberg1989
Saadeh y colaboradores2016
Schrödinger1944
Shannon1948

Huracán

Rankine1858
Palmén1948
Gray1968
Emanuel1986
Bister y Emanuel1998
Willoughby, Clos y Shoreibah1982

Para consultar en línealímite de Chandrasekhar teorema de no pelo frecuencias de Matsubara estabilidad de la materia gas de primos función de Mertens espacio de de Sitter problema de la constante cosmológica intensidad potencial de los ciclones ciclo de reemplazo de la pared del ojo